Что такое число PI?

Материал из ALAS.

Начал я думать так: число PI это 3.1415926..., то есть именно число, некоторое количество. Другими словами, это 3 плюс некоторая небольшая часть. У меня это ассоциируется с неким объектом, обладающим объемом, но таким, что он чуть больше 3, потом нужно добавить к нему еще более мелкий кусочек и еще, и т.д.

Потом я вспомнил, что PI это отношение длины окружности к ее диаметру. Но проще работать с четвертью окружности.

А радиус можно принять за единицу. Тогда будет достаточно понять взаимосвязь длины этой вот дуги с вот этими двумя отрезками на осях. В общем все как-то упирается в понятие расстояния между точками (хотя, думаю, это только один взгляд на проблему). В евклидовой геометрии оно вычисляется как .

Для одной оси все более менее понятно, это просто модуль разности координат двух точек:

Но для двух получается, что все определяет взаимосвязь между осями.

Теперь хорошо бы понять как мы вычисляем длину. Геометрически, я помню, это можно сделать вычисляя длину граней правильного многоугольника (как раз используя формулу расстояния), устремляя количество граней к бесконечности - приближая его к окружности

А вообще все это напоминает корни n-ой степени из комплексных чисел. Корень n-ой степени из числа имеет n корней, которые располагаются на окружности в комплексной плоскости (не знаю, правда, означает ли это, что они равноудалены от центра и где именно применяется формула расстояния в вычислении комплекного корня). Возможно равноудаленность корней комплексного числа не зависит от формулы расстояния %), но можно попробовать вычислить расстояние между каждым из соседних таких корней по формуле, тогда это будет похоже на решение с многоугольником. Чтобы приблизиться к окружности, видимо, нужно взять корень бесконечной степени (из единицы?)

Вот, видимо, где кроется связь комплексных чисел с sin и cos. Интересно, что значения самих sin и cos не зависят от введенного расстояния.

Хотя нет, как же не зависит, если синус это и есть отношение OC к OA:

    

OA = RO([0,0], [x1,y1]) OC = RO([0,0], [0,y1])

Если бы расстояние вычислялось по формуле , синус был бы равен , а для нашей положительной четверти вообще

Хм. Похоже найти корень из комплексного числа не получится, поскольку его поиски опираются на тригонометрическую форму записи этого самого числа, которая в свою очередь вычисляется используя евклидово определение расстояния.

Хотя с другой стороны вроде бы не должен, потому что zⁿ = w, где z корень, а степень никак не связана с понятием расстояния. Брр.

Ага, все понятно вот здесь показано вычисление корня из комплексного числа, при этом рассуждения можно закончить на фразе "Если два комплексных числа равны, то аргументы у них могут различаться только на величину, кратную 2PI".

Вот поэтому корни находятся правильно, потому что в их записи присутствует "константа" PI. Если пространство другое, то и PI отличается. Поэтому вполне можно пользоваться стандартной формулой извлечения корня из комплексного числа (правда нам она не подходит, поскольку в ней уже используется pi):

Интересно, есть ли такое пространство, где PI рациональное, а может даже и целое? Вот в пространстве с ro = abs(x1-x2)+abs(y1-y2), навскидку, длина единичной окружности будет 8 (там окружность выглядит как ромб), а радиус соответственно 1, значит PI=4!

То есть проблема числа pi (3.14159...) не в том, что оно в принципе иррационально, а в том, что его нельзя записать некой конечной цифрой - какую бы мы очередную цифру ни взяли для его записи, она будет недостаточно мала, чтобы его полностью обозначить. Вот если бы были бесконечно малые цифры :P

Таким образом, на данный момент, pi просто характеризует взаимосвязь координат пространства. Это число, которое получается вычислением суммы длин вот таких отрезочков:

В этой дуге похоже отражены все относительные повороты точек друг с другом, поэтому pi так тесно связано с углами в пространстве, это собрание всех возможных видов расстояний между точками. Pi главным образом опирается на длину окружности, которая в свою очередь непосредственно зависит от формулы растояния между двумя точками. Но почему именно окружности?

Получается такая двойная зависимость: с одной стороны мы выбираем координаты тех точек, которые находятся на определенном расстоянии от данной (используя формулу), а с другой, находим расстояние между двумя соседними из них, используя ту же формулу.

Можно представить себе такое пространство, в котором вокруг любой точки только 5 находятся на равном расстоянии от центра. "Окружность" тогда бы состояла из пяти точек. Интересно как бы вычислялась тогда ее длина.

Теперь вспомним, что pi также вычисляется через площадь S=pi*r^2, то есть pi=S/r^2. Так как радиус у нас равен 1, pi=S. То есть pi это просто площадь единичной окружности. Ее легко записать с помощью интеграла, под который почти непосредственно и записывается формула расстояния между двумя точками.

Мы записываем условие ro=1 (ro - расстояние от точки [0,0] до точки [x,y]), выражаем из него y(x) и вычисляем интеграл для I-й четверти (если конечно окружность получается симметричной). Для евклидова пространства это получается так:

Меня во всем этом правда больше интересует то, что pi является отражением структуры пространства, взаимосвязи координат его точек.

Так, вот теперь все кажется стало понятно. 2*Pi это длина единичной окружности. С помощью этой константы мы просто позиционируемся на окружности. Прошлись немного вверх по длине, вот вам и угол. Еще прошлись, другой угол. Вот поэтому функция синуса и периодическая. Если рассматривать, например, одномерное пространство, с одной осью x, то "окружностью" будут являться точки -1 и 1. Чтобы их обозначить, достаточно двух чисел. Но у нас уж так принято за pi принимать половину длины окружности, поэтому pi будет равно единице. Соответственно, точно также, прибавляя 2*pi, мы будем возвращаться к той же точке.

Так что ответ однозначный: pi это половина длины единичной окружности данного пространства.

Теперь подумаем почему pi равно именно 3.14?

Как только мы вводим координату y в наше пространство, фигура как бы выпячивается из оси x. Чем дальше от оси к оси x, тем меньше она похожа на отрезок, то есть на кратчайшее расстояние. Чем дальше, тем больше обход, больше длина:

Вообще эта кривая может быть и совсем не похожа на окружность, но насколько я понимаю, она должна быть как минимум симметрична относительно оси x и оси y, поскольку расстояния от (-1,0) до (0,0) и от (0,0) до (1,0) равны. Хотя скорее нет, можно задать и другую формулу расстояния, которая специфически реагирует на отрицательные координаты.

--alisid 20:01, 18 мая 2006 (MSD)